1、前言：隨著能源和水資源的全球性匱乏 , 一批關系國計民生的大型水利工程和引水調水工程在我國迅速發展, 如三峽水利樞紐 、南水北調工程等 。這些工程項目中經常包含一些口徑和流量都很巨大的管道 , 如水電站機組進水管道等 , 常規流量計無法適應 。
  近年開發應用的多聲路超聲流量計 ,較好地解決了大口徑水流量測量的技術難題 , 流量計制造不受管道口徑的限制, 多聲路配置可以適應較為復雜的流道結構和流態分布 , 故超聲流量計已成為大口徑水流量測量的***佳技術選擇[ 1]。超聲流量計屬于速度式流量計 , 通過測量超聲波在流體中順流和逆流傳播的時間差來計算聲路線上的平均流速 , 并通過測量多條聲路速度來加權平均計算待測截面上的平均流速 。超聲流量計需要進行復雜運算才能得到***終的平均流速和流量 , 其采用的數學模型準確度對整個測量準確度有著非常重要的意義 。
  顯然, 聲路數越多, 流量積分準確度就越高, 但聲路數的增加會大大增加流量計的成本 , 所以選擇合理的聲路位置 、匹配的權重系數就十分重要。超聲流量計可以從提高時間及幾何量的測量準確度來提高流量計本身的測量準確度 , 但是數值積分引入的測量誤差 (簡稱積分誤差 )始終為流量計所無法繞開;特別是隨著微電子技術以及信號處理技術的飛速發展, 聲路速度的測量準確度越來越高[ 2-3], 積分誤差逐漸成為提高流量測量準確度的瓶頸 。對于常用的 4聲路 、8聲路超聲流量計 , 積分誤差是流量計測量誤差的主要來源 ;對于聲路數更多的情況 , 積分誤差也是流量計測量準確度的重要影響因素。即使流量計安裝滿足前后直管段長度要求 , 其積分誤差也依然存在 ;而若由于場地或資金限制導致無法滿足時, 積分誤差就更應引起注意 。

2、超聲波流量計積分原理：
  超聲流量計利用超聲波在流體中傳播的時間存在差異的特性 , 由置于待測截面兩側的一對換能器(如圖 1所示 ), 測量超聲波順流與逆流傳播的時間 td, i、 tu, i, 得到相應聲路上的平均軸向速度[ 4](簡稱聲路速度 )：

式中 :Li為聲路長度, i為聲路角 。對于單聲路流量計,截面平均流速與該聲路速度存在特定關系 , 但易受到流速分布廓形的影響 。為了提高流量計的測量準確度, 在待測截面上平行地布置多條聲路 , 獲得的聲路速度可以代表待測截面上相應平行條帶內的平均速度 , 如圖 2所示 , 并依據各條帶所占的權重系數 ωi, 用加權求和的方法計算流量 ,

圖 1　聲路速度的測量
式 (2)加權求和計算流量的方法實際利用了數值積分的原理 , 通過有限個聲路采樣點計算 l(z)·  v(z)的值 , 來逼近其在區間 [ -R, R] 上的定積分 :Q=∫R-Rl(z) v(z)dz=R∫1-1l(t R) v(t R)dt≈R∑Ni=1ωil(tiR) v(tiR)

圖 2　流量積算示意圖
式中 :z=t R為聲路高度, t為相對聲路高度 , l(z)為聲路寬 度。 式 (3)將數值 積分 變換 到 [ -1, 1] 區間上來 , 方便不同半徑時的計算 。若代入聲路寬度 l(z)=2 R2-z2=2R 1 -t2, 則流量為 :Q=2R2∫1-1ρ(t)·  v(t R)dt≈ 2R2∑Ni=1ωi·  v(tiR)· ρ(ti)(4)式中 :ρ(t)= 1 -t2。相對于梯形公式、辛普森公式等插值型積分要求采樣點固定甚至等距而言 , Gauss積分方法則是在采樣點個數一定 、位置自由選擇等限定下積分精度***高的一種方法[ 5]。圓管中的超聲流量計一般采用 Gauss-Jaccobi積分法來確定聲路的***優位置 ti和相應的權重系數 ωi,IEC41[ 6]及 PTC18[ 7]規程中已有不同聲路數 N時的聲路高度和權重系數 , 一般依此位置及系數安裝超聲探頭并計算流量 。

3、聲路高度與權重系數的推算：
3.1、Gauss-Jaccobi方案：
  根據 Gauss積分理論 , 相對聲路高度 ti為帶權 ρ(t)的正交多項式 PN(t)的根。對于圓形斷面的管道 , 由式(4)可以看到權函數為 ρ(t)= 1 -t2, 這正好為古典的 Jaccobi正交多項式的權函數 (1 +t)α(1 -t)β的特殊情況, α=β =κ=0.5 , 故 Jaccobi正交多項式可以由式(5)遞推[ 8]:Pj+1=[ Pj(2j+2κ+1)x-Pj-1(j+κ)] (j+κ+1)(j+1)(j+2κ+1)(5)起始值 P-1=0, P0=1 。進一步可以計算 PN的 N個根 ti, 即相對聲路高度。而對于矩形管道或明渠 , 權函數 ρ(t)=1 ,則為 Legendre正交多項式問題 。此為圓形管道宜采用 Gauss-Jaccobi方案、方形管道宜采用 Gauss-Legendre方案的由來 。
  權重系數 ωi可通過下面的積分得到:ωi=1ρ(ti)∫1-1ρ(t)∏Nk=0, k≠it-tkti-tkdt (6)結合 Gamma函數 Γ(x)=∫∞0e-ttx-1dt, 式 (6)可以轉化為容易計算的形式:ωi=1ρ(ti)Γ2(κ+N)(κ+N)22κ+1Γ(N+1)Γ(2κ+N+1)PN-1(ti)P′N(ti)(7)式中 :PN-1(ti)為 N-1階 Jaccobi正交多項式 , P′N(ti)為 N階 Jaccobi正交多項式的導數 。值得注意的是 , 該權重系數與數學上的 Gauss-Jaccobi積分的權重系數稍有差別 , 出于實際聲路寬度可能與安裝預期值有所差異的考慮 , 將 ρ(ti)從權重系數中剔除出來, 而在積分時采用其實測值 ρ(ti)=Lisin i/2代入計算 , 如式(4)所示 。表 1給出了 4聲路及 9聲路時的相對聲路高度 ti和相應的權重系數 ωi。由于 Gauss-Jaccobi方案中 α=β =κ=0.5,可以經數學推導得到相對聲路高度和權重系數的簡化計算公式[ 9]:ti=cosiπN+1, i=1, 2, …, Nωi=1ρ(ti)πN+1sin2iπN+1(8)式中 :N為聲路數量 。

3.2、OWICS方案：
  對于聲路速度分布  v(z)可由相應階數的代數多項式表達的情況 , Gauss-Jaccobi方案不存在截斷誤差;但實際聲路速度分布與理想的代數多項式表達形式之間存在較大差異 , 特別是無法體現管壁處流速為零這動特性 , 導致流量積分結果偏高, 而聲路數越少 , 流量計算值偏高的趨勢越強烈 。考慮到充分發展的圓管紊流的實際聲路速度分布與形如 (1 -t2)1/10的指數分布接近 , 可以將其從聲路速度 v(z)中提取出來, 使  v′(z)接近于 1, 從而  v′(z)更容易為代數多項式所表達。 進一步將其與權函數 ρ(t) =1 -t2合成得到 : v(z)ρ(t)= v′(z)(1 -t2)1/ 10ρ(t)= v′(z)(1 -t2)0.6= v′(z)ρ′(t) (9)然后按照新的權函數 ρ′(t)=(1 -t2)0.6, 即 α =β =κ=0.6 , 可以計算不同聲路數 N時的相對聲路高度ti和權重系數 ωi, 其中 4聲路及 9聲路的結果見表 1。這種算法稱為***佳圓斷面 (OWICS)方案 , 實際也是基于正交多項式的 Gauss積分方案[ 10]。

3.3、權重系數與面積平均方案的比較:
  Gauss積分方案有其數值分析上的基礎 , 在確定的聲路高度條件下 , 不同聲路的權重與其所在條帶的面積相關, 但并非成正比關系 。針對計算得到的相對聲路高度ti, 計算了各聲路所在條帶的面積 , 分割為中間的梯形與兩側的弓形進行計算 :Si=12(xi+xi+1)Δzi+ΔβiR-sinΔβiR2(10)式中 :Δβi= arcsinti-arcsinti+1 為兩側弓形的圓心角, xi與 xi+1為聲路條帶的上下兩側的弦長, 該弦正好均分相鄰聲路之間的面積 , 弦的位置 xi可利用條帶面積相等而迭代求解得到。若認為聲路速度為所在條帶內的平均速度 , 則聲路條帶的面積 Si可以作為截面平均速度計算時的權重系數 , 為與前面的 Gauss積分方案對比 , 權重系數需進行處理 , ωs, i=Si/ρ(ti)。對比 Gauss積分方案與面積平均方案的的權重系數發現 , 兩者有所差別 , 如表 1所示 。 Gauss積分方案并非簡單的面積加權求和 , 其權重系數與面積加權平均相比 ,對中間聲路偏大而對邊緣聲路偏小 , 說明 Gauss積分更多的是強調中間聲路速度對平均流速的貢獻, 這可能也是 Gauss積分方案對復雜聲路速度分布的適應性要優于面積平均方案的原因所在。

表 1　流量積分節點位置及求積系數

4、流量積分準確度分析:
4.1、不同聲路數時的積分誤差：
  超聲流量計利用有限聲路還原整個截面上的速度分布情況, 顯而易見的是聲路越多, 流量積分越準確 。根據圓管紊流理論 ,圓形管道中充分發展的流速分布通常可用指數分布來描述 , 指數 n與雷諾數和相對粗糙度有關系 , 下面以 n=9時v=(1 -r)1 /9　　(0 ≤ r≤ 1) (11)為例來分析積分誤差E=Q-QiQi×100% (12)的影響因素 。式中 , Q為不同方案時的數值積分結果,Qi為數學積分的結果 。圖 3給出了 3種方案在不同聲路數時的積分誤差。可以看到 , Gauss-Jaccobi方案的積分誤差均大于零, 且隨著聲路數 N的增加 , 積分誤差迅速減小 , 在 N=6之后積分誤差已降至 0.05%以下, 且繼續增加聲路數不再引起很大變化 , 說明對于簡單平順的流動 , 過多的聲路數對提高流量計準確度意義不大 。對于面積加權平均方案, 積分誤差也隨著聲路數 N的增加而減小 , 但減小速度甚慢,36聲路時仍然保持 0.05%左右的積分誤差 。 兩者比較可以發現 , Gauss積分方案要比面積平均方案具有更高的準確度。對于***佳圓斷面方案, 積分誤差在零上下浮動,隨著聲路數的增加, 浮動范圍逐漸減小 。對于聲路數N =2 ～ 9 , OWICS方案的積分誤差比 Gauss-Jaccobi方案還要略小 , 說明前者確實優于后者 ;但在聲路數較大時,OWICS方案的優勢已比較微弱。

圖 3　圓管紊流條件下的積分誤差
  為了進一步探討 3種積分方案的差異 , 利用擾流流場經典公式：
  u(r, θ)=(1 -r)1 /n+mr(1 -r)1/kf(θ) (13)對積分誤差進行進一步分析 。式中 , n、 k、 m、 f(θ)為可調的參數, θ在 [ 0, 2π] 內。圖 4給出了 3種方案的積分誤差計算結果 , 點值為利用式 (13)描述的一組流場下的積分誤差均值 , 而豎線則表示其標準差大小 。其規律與圓管紊流情況類似 , 兩種 Gauss積分的效果要比面積加權平均好得多 , 前者積分誤差不僅能夠隨著聲路數的增加迅速收斂到零附近 , 而且波動幅度也比同聲路數的面積加權平均方案為小 。另外進一步說明, OWICS方案的優勢主要體現在聲路數較少時 ,若聲路數量受到限制 ,以采用 OWICS方案為佳 。

圖 4　擾流流場條件下的積分誤差
4.2、積分誤差的來源：
  Gauss數值積分過程具有 2N-1階代數精度 , 即若實際聲路速度分布可用 2N-1次代數多項式表達 , 則數值過程引入的截斷誤差為零 。但是由于實際聲路速度分布曲線受邊界條件等的影響 , 造成其無法由 2N-1次多項式來表達 , 所以流量計算的數值積分過程將引入一定的截斷誤差 , 其大小與實際聲路速度分布曲線有關系, 一般來說待測流場廓形越復雜, 積分誤差越大 。仍以式(11)中的指數流速分布為例 , 來說明積分誤差的來源。該速度分布在半徑為 1的管道中的流量可以通過數學積分得到 Q =2.678 620 。圖 5中的聲路速度曲線由該指數函數積分得到 , 具有對稱的分布特性 , 中間區域較為平坦 , 邊緣附近迅速降低為零 , 若按 Gauss-Jac-cobi方案來取 N =5進行采樣 , 數值積分的結果為 Q =2.681 950 , 與真值相差 0.12%。圖 5中另給出了過該組采樣點的代數多項式族 (次數不大于 9, 其中 3條賦予了邊界為零的約束 ), 雖然這一組曲線分布較為復雜 , 但其描述的聲路速度分布的積分結果 Q=2.681 950 , 與數值積分的結果完全相同 , 這也驗證了 Gauss積分具有 2N-1階代數精度的結論 。 事實上一般不會出現實際聲路速度曲線正好為代數多項式描述的情況 , 故積分過程總是存在積分誤差 。

圖 5　聲路速度分布示意圖

  Gauss-Jaccobi積分法和 OWICS積分法均建立在聲路速度分布可由代數多項式來表達的假設基礎上, 部分研究者認為聲路速度分布根本不適合由代數多項式來表達[ 12], 尤其是對于流場受到擾動的情況 , A.Nichtaw-itz[ 13]認為利用 PCHIP多項式(分段立體赫爾密特插值多項式 )來表達流速分布比較合適, 在修正邊壁流場的情況下 , 利用 4聲路的 PCHIP積分法與 9聲路 Gauss-Jaccobi積分法大致具有相同的積分誤差 。另外也有學者[ 14-15]認為流量計現場流動非常復雜 、根本不可預測 , 而采用復雜的聲道布置并輔以神經網絡進行處理的思路 , 來推進超聲流量計數學模型的研究 。

5、結論：
  本文分析了超聲流量計的流量積分原理 , 并結合數值分析理論, 推導了超聲流量計聲路布置方案 (Gauss-Jaccobi方案及 OWICS方案 )的聲路高度與權重系數 。通過對比 Gauss積分方法與面積加權平均方法在聲路高度相同時的權重系數差別, 發現 Gauss積分方法更加重視中間部分聲路對平均流速的貢獻 , 這可能是其具有更高準確度的重要原因 。另外還分析了 Gauss積分方案流量積算誤差的產生原因 , 并對比了聲路數對積分誤差的影響 。積分誤差來源于實際聲路速度無法為代數多項式所表達 ;聲路數越多, 積分準確度越高 , 但過多聲路數對提高流量計準確度意義也不大 。